MÉTODO DE COFACTORES

MÉTODO DE COFACTORES

ECUACIONES 3X3

Determinante de una matriz de 3x3 por el método de cofactores

Sea una matriz A definida, a continuación, se puede obtener su determinante dividiendo la matriz en tres matrices más pequeñas, en este caso matrices de 2x2. Para ello se elimina un renglón y una columna, de tal manera que los elementos restantes formen una matriz de 2x2.

Par obtener el determinante se multiplica el elemento de la matriz en el cual se intersecta el renglón y la columna que nos permiten formar una matriz de 2x2, en un orden de +, -, +.

Iniciaremos con el primer renglón y la primera columna:

El determinante adoptará la siguiente fórmula, multiplicando el elemento por el determinante de la matriz resultante:

 

Ahora con el siguiente elemento:

Agregamos a la operación para obtener el determinante:

Y se completa la fórmula del determinante:

Ahora con un ejemplo:

Utilizando el procedimiento y fórmula obtenemos el determinante:

Fuentes y derechos de autor: Vitutor

MÉTODO DE GAUSS JORDAN

MÉTODOS DE GAUSS JORDAN 

 El Método de Eliminación de Gauss - Jordan, es un algoritmo del algebra lineal para determinar las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, encontrar matrices equivalentes e inversas. 

     Un sistema de ecuaciones se resuelve por el Método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Este método transforma la matriz de los coeficientes en una matriz triangular superior. El Método de Gauss - Jordan es el método que transforma la matriz de los coeficientes en una matriz identidad.

    El método de Gauss Jordan utiliza operaciones de fila en la matriz aumentada para hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. En la siguiente figura se presenta un ejemplo de una matriz de los coeficientes y una matriz aumentada.

Matriz de los coeficientes

Matriz aumentada

  

    Dos matrices aumentadas son equivalentes según sus filas si estas son de sistemas de ecuaciones equivalentes. Las operaciones de reemplazo de filas siguientes transforman matrices aumentadas en matrices aumentadas equivalentes:

1.  intercambiar dos filas de posición

2.  multiplicar una fila por una constante distinta de cero

3.  sumar o restar una fila y un múltiplo de otra fila

Ejemplo 1

     Efectue la operación elemental de fila, intercambiar las filas  uno y dos en  

Solución:

Esta operación consiste en colocar la fila 2 en la posición de la fila 1 y viceversa.

Ejemplo 2

     Efectue la operación elemental de fila, multiplicar la fila dos por tres en 

Solución:

Esta operación consiste en reemplazar la fila 2 por la fila 2 multiplicada por 3.

Ejemplo 3

    Efectue la operación de fila, multiplica la fila 1 por 3 y sumala a la fila 2 en

Solución:

Esta operación consiste en reemplazar la fila 2 por la suma de 3 veces la fila 2 y la fila 2. se escribe la fila 1 multiplicada por 3. Debajo de esta fila se coloca la fila 2. Después se suma hacia abajo para luego escribir la matriz con la fila 2 reemplazada. La nueve matriz anterior y la segunda con nueva fila 2.

     Para resolver un sistema de ecuaciones usando una matriz aumentada, se escribe la matriz aumentada del sistema. Luego se transforma esta matriz en una matriz triangular superior equivalente y se procede a resover el sistema de ecuaciones correspondiente. Ver el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4  (Click aqui para ver el ejemplo en forma interactiva)

     Resuelve el siguente sistema de ecuaciones lineales utilizando matrices

Solución:

     El primer paso consiste en escribir la matriz aumentada del sistema con todas la ecuaciones ordenadas. Las variables organizadas en el mismo orden en cada ecuación del sistema.

Se organizan todas las ecuaciones en el mismo orden y luego se escribe la matriz aumentada que representa el sistema de ecuaciones dado.

     El segundo paso consiste en realizar operaciones de fila en la matriz aumentada hasta transformarla en una matriz cuyos elementos de la diagonal principal sean uno y los elementos debajo de la diagonal principal sean ceros. 

La primera operación de fila es intercambiar la fila 1 y la fila 2.

Se reemplaza la fila 2 por la fila 2 menos 2 veces la fila 1.

Se reemplaza la fila 3 por la fila 3 menos 3 veces la fila 1.

Se reemplaza la fila 2 por negativo un quinto la fila 2.

Se reemplaza la fila 3 por la fila 3 más 10 veces la fila 2.

Se reemplaza la fila 3 por menos un septimo fila 3.

     El tercer paso consiste en transformar la matriz triangular superior en un sistema de ecuaciones. Luego se realizan sustituciones para hallar las variables que faltan. En este ejemplo se conoce el valor de Z. Luego buscamos el valor de Y y el valor de X.

Escribir el sistema equivalente a la matriz aumentada en forma reducida.      Se busca el valor de y sustituyendo el valor de z y despejando para y.      Se busca el valor de x sustituyendo el valor de y y el valor de z. Luego se despeja para x.

         El sistema se clasifica como consistente independiente y la solución es el punto (1, 2, 0). 

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